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そこらの教師より数学ができる自信があります、はじめまして、新卒です。

今回は機械学習に必要とされる、極大・極小について簡単に説明します。

そもそもなぜ機械学習に極大・極小が必要かというと、最適化を行う際に必要であるためです。

(私が作成中のwebアプリには必要ないかもしれない…)

数学的な記事ですので、技術的な要素はありません。

極大・極小とは、といった基礎中の基礎について書かれているため、数学と仲の悪い?文系向けです。

1 極大・極小とは
- 1.1 問題を解いてみよう
2 まとめ

極大・極小とは

極大 : 連続的な関数で、近傍では最大であること。

極小 : 連続的な関数で、近傍では最小であること。

この説明では、あまりにも抽象的でイメージが湧かないので、図を用いて説明します。

↓のグラフの赤い点がそれぞれ極大、極小です。

↓のグラフでは、極大は存在しますが、極小は存在しません。

逆にこのグラフでは極小は存在しますが、極大は存在しません。

つまり、

水を入れたら溜まりそうなところが極小で、

ひっくり返すと水が溜まりそうなところが極大です。

また、極大・極小を取るときの値を極大値・極小値といい、これらのことを極値といいます。

グラグによっては極大、極小のどちらも存在しないこともありますし、複数存在することもあります。

問題を解いてみよう

今回は例題として、

の極値を求めます。

このタイプの問題を解く手順は以下の通りです。

数式を微分する。
微分した数式を因数分解する。
y’=0になるxの値を見つける。(y’はyを微分したもの)
y, y’, 3で見つけたxの値を元に増減表を書く。

それでは1から順にやっていきます。

数式を微分する。
元の式
を微分すると
このようになります。
微分した数式を因数分解する。
2の式を因数分解すると、以下のようにになります。
y’=0になるxの値を見つける。(y’はyを微分したもの)
2より、x=2, 2/3のときy’は0になることが分かります。
y, y’, 3で見つけたxの値を元に増減表を書く。
増減表とは傾き(y’)からyの増加及び減少を示した表のことです。
書き方は以下の通りです。
y, y’をそれぞれf(x), f'(x)とし、下図のように書く。
3で求めたxの値を書き入れる。

xが2/3より小さい値、xが2/3より大きく2より小さい値、xが2より大きい値を適当に考える。今回はそれぞれ、0, 1, 3とする。
f(x)とf'(x)にx=0を代入する。
f(0) = 5, f'(0) = 4である。
どちらも正であるため、下表のように左の列に+と矢印を書き入れる。
これを、x = 1, x = 3でも行う。
f(2/3)と、f(2)をそれぞれ計算する。

f(x)が、上がってから下がっているところが極大、下がってから上がっているところが極小です。
これより、この問題の答えは以下の通りです。
x=2/3のとき極大値167/27、x=2のとき極小値5を取る。